La matematica sembra essere una disciplina asettica, che esiste e ha senso solo nella cerchia di "cervelloni" che la capiscono.
La verità, invece, è che la matematica (come disse Galileo) è il linguaggio con cui è scritto il libro chiamato Natura, e più la si approfondisce e meglio si capisce il mondo. Il bello della matematica è l'essere completamente logica: nulla si da per assunto, ma a tutto ci si deve arrivare ragionando. Tra gli stupefacenti risultati della matematica ce ne sono alcuni che davvero sembrano incomprensibili e esuli dalla relatà, ma dall'effettu stupefacente su chi li sente.
Supponiamo di prendere un foglio e scrivere in colonna la lunghezza in metri dei fiumi dell'Emilia Romagna; prendiamo adesso le cifre a sinistra di ogni numero (a sinistra, non a destra!): possiamo dire con quasi assoluta certezza che il numero più frequente sarà 1.
Questa legge è detta Legge di Benford, e matematicamente si esprime così:
La probabilità che la prima cifra di un numero scelto "a caso" sia c è data dalla formulaLa dimostrazione di questa legge è molto complicata, ma possiamo intuitivamente immaginare perchè è vera.
P(c)= log10 (c+1) - log10 (c)
Se questa legge è vera, allora deve avere un invarianza di scala: in pratica se misuriamo la lunghezza dei fiumi in chilometri o in miglia non importa, il numero iniziale più frequente sarà sempre 1. Proviamo quindi a prendere la lista e a raddoppiare i valori (come se misurassimo i fiumi in mezzi-metri), allora tutti i numeri che iniziavano con 5,6,7,8 e 9 inizieranno per 1, quindi la probabilità che il numero inizi per 1 è circa la stessa che inizi per 5,6 ecc..
Questi sono i dati presentati da Benford per suffragare la sua legge
| Titolo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | Valori |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fiumi, superfici | 31,0 | 16,4 | 10,7 | 11,3 | 7,2 | 8,6 | 5,5 | 4,2 | 5,1 | 3,5 |
| Popolazione | 33,9 | 20,4 | 14,2 | 8,1 | 7,2 | 6,2 | 4,1 | 3,7 | 2,2 | 32,9 |
| Constanti | 41,3 | 14,4 | 4,8 | 8,6 | 10,6 | 5,8 | 1,0 | 2,9 | 10,6 | 1,4 |
| Quotidiani | 30,0 | 18,0 | 12,0 | 10,0 | 8,0 | 6,0 | 6,0 | 5,0 | 5,0 | 1,0 |
| Specific Heat | 24,0 | 18,4 | 16,2 | 14,6 | 10,6 | 4,1 | 3,2 | 4,8 | 4,1 | 13,9 |
| Pressioni | 29,6 | 18,3 | 12,8 | 9,8 | 8,3 | 6,4 | 5,7 | 4,4 | 4,7 | 7,3 |
| H.P. Lost | 30,0 | 18,4 | 11,9 | 10,8 | 8,1 | 7,0 | 5,1 | 5,1 | 3,6 | 6,0 |
| Peso molecolare | 26,7 | 25,2 | 15,4 | 10,8 | 6,7 | 5,1 | 4,1 | 2,8 | 3,2 | 18,0 |
| Drenaggio | 27,1 | 23,9 | 13,8 | 12,6 | 8,2 | 5,0 | 5,0 | 2,5 | 1,9 | 1,9 |
| Peso atomico | 47,2 | 18,7 | 5,5 | 4,4 | 6,6 | 4,4 | 3,3 | 4,4 | 5,5 | 91 |
| 1/n, √n | 25,7 | 20,3 | 9,7 | 6,8 | 6,6 | 6,8 | 7,2 | 8,0 | 8,9 | 50,0 |
| Design | 26,8 | 14,8 | 14,3 | 7,5 | 8,3 | 8,4 | 7,0 | 7,3 | 5,6 | 5,0 |
| Reader's Digest | 33,4 | 18,5 | 12,4 | 7,5 | 7,1 | 6,5 | 5,5 | 4,9 | 4,2 | 3,8 |
| Coste | 32,4 | 18,8 | 10,1 | 10,1 | 9,8 | 5,5 | 4,7 | 5,5 | 3,1 | 7,1 |
| X-Ray Volts | 27,9 | 17,5 | 14,4 | 9,0 | 8,1 | 7,4 | 5,1 | 5,8 | 4,8 | 7,7 |
| American League | 32,7 | 17,6 | 12,6 | 9,8 | 7,4 | 6,4 | 4,9 | 5,6 | 3,0 | 14,8 |
| Blackbody | 31,0 | 17,3 | 14,1 | 8,7 | 6,6 | 7,0 | 5,2 | 4,7 | 5,4 | 11,5 |
| Indirizzi | 28,9 | 19,2 | 12,6 | 8,8 | 8,5 | 6,4 | 5,6 | 5,0 | 5,0 | 3,2 |
| n, n², n³, …, n! | 25,3 | 16,0 | 12,0 | 10,0 | 8,5 | 8,8 | 6,8 | 7,1 | 5,5 | 9,0 |
| Tassi di mortalità | 27,0 | 18,6 | 15,7 | 9,4 | 6,7 | 6,5 | 7,2 | 4,8 | 4,1 | 4,8 |
| Media | 30,6 | 18,5 | 12,4 | 9,4 | 8,0 | 6,4 | 5,1 | 4,9 | 4,7 | 10,1 |
| Errore probabile | ± 0,8 | ± 0,4 | ± 0,4 | ± 0,3 | ± 0,2 | ± 0,2 | ± 0,2 | ± 0,3 |
Naturalmente la legge ha importanti utilizzi anche nel concreto: viene usata per smascherare false raccolte di dati, magari utilizzati a scopo politico, assicurativo, bilancio, nell'analisi delle dichiarazioni dei redditi, ecc...
Ringrazio il mio amico Nicola per avermi fatto scoprire questa legge :)
Se ti è piaciuto l'articolo, iscriviti al feed per tenerti sempre aggiornato sui nuovi contenuti del blog!
0 commenti:
Posta un commento